Por Sergio F. Carbone
Magister y Profesor en Filosofía
LA GEOMETRÍA ANTES Y DESPUÉS DE DESCARTES (1997)
La prioridad que Descartes da a las relaciones aritméticas respecto a las relaciones geométricas está dada por el hecho de que en la aritmética al ser mayor el grado de abstracción es en consecuencia mayor el grado de perfección.
En el caso de los geómetras de la antigüedad, éstos se hallaban tan ligados al dato sensible que no podían desentenderse de las imágenes que la geometría permite emplear para representarse su objeto y, es en virtud de esto que las relaciones geométricas tenían en la antigüedad un primado sobre las relaciones aritméticas dado que lo geométrico siempre podemos encontrarlo en la realidad física y, así – por ejemplo Pitágoras – pudo expresar geométricamente la relación que hay entre el cuadrado de la hipotenusa y los cuadrados de los catetos en los triángulos rectángulos, pero tomando siempre como punto de partida la construcción de un triángulo rectángulo, lo cual hace que la geometría de los antiguos se valiera del método sintético (unir, enlazar, construir).
Podemos apoyarnos en Platón para reforzar esta afirmación, recurriendo al llamado Paradigma de la Línea Dividida (Libro VI de República), en el cual queda establecido que el matemático, dada su dependencia respecto a lo sensible, debe valerse de figuras para llegar a aquello que se ha propuesto demostrar (plano de la diánoia). La abstracción “total” la conseguirá el filósofo – luego de recorrer el ineludible camino de las demostraciones matemáticas conforme al entendimiento (diánoia) – en función de la nóesis, pero ya sin ningún concurso de lo sensible; captando las Ideas Metafísicas de manera directa.
Toda la geometría de Euclides es también un ejemplo de método sintético, pero debemos señalar que los antiguos no contaban con el “aparato algebraico” que había sido desarrollado por los antecesores de Descartes – Francisco Vieta por ejemplo, matemático francés del siglo XVI, precursor del álgebra y primero en representar ecuaciones mediante letras – o el mismo Descartes.
La gran revolución cartesiana consistió en expresar las relaciones geométricas mediante relaciones aritméticas; en eso radica su geometría analítica. La geometría se cuantifica en virtud de lo numérico pasando a ser esto prioritario, razón por la cual se adquiere un mayor grado de abstracción, perfección y hasta podríamos decir de economía.
En el encabezamiento de la Regla XVI leemos: “En cuanto a las cosas que no exigen la atención inmediata de la inteligencia, aunque sean necesarias para la conclusión, es mejor representarlas por signos muy concisos que por figuras completas. De este modo la memoria no podrá engañarnos, ni tampoco el pensamiento se distraerá mientras tanto en retenerlas al mismo tiempo que se aplica a deducir otras.”
La Regla XVIII está íntimamente relacionada con la geometría analítica. En ella las magnitudes extensas “explican” geométricamente las operaciones aritméticas básicas. Vemos entonces cómo domina el aspecto algebraico en la geometría de Descartes. Las ecuaciones se consideran antes que las líneas, las figuras o los cuerpos; los entes geométricos se construyen pero a partir de las relaciones numéricas. No son un punto de partida (como en el caso de los antiguos), sino un punto de llegada. El método analítico está destinado a solucionar un problema mediante ecuaciones.
De manera que con el filósofo y matemático francés – padre de la Filosofía Moderna y de una de las Revoluciones Científicas más trascendentales del mencionado período de la historia - asistimos al desarrollo tanto de la geometría como del álgebra que, por reacción digamos, participó en los progresos de la geometría adquiriendo incluso un perfeccionamiento en la notación.
Por otra parte y al mismo tiempo, el desenvolvimiento, el curso de la geometría analítica – en tanto praxis científica – le permitió elaborar tanto un método (camino) para acceder a la verdad así como también un sistema filosófico-metafísico. Las relaciones aritméticas expresan lo geométrico y, son estas relaciones las que le permitieron matematizar la realidad física – la cual está constituida por cuerpos con formas geométricas (Mathesis Universalis) y, al ser esta realidad física materia – cuya esencia es la extensión, por lo tanto es geométrica – ésta puede ser pensada por la sustancia pensante (cógito); así, la metafísica cartesiana surge como consecuencia de la matemática, la cual es su condición de posibilidad.
BIBLIOGRAFÍA
DESCARTES, Reglas Para la Dirección del Espíritu
PLATÓN, República